Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình bình hành .Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , CD , SD . a) Tìm giao tuyến của ( SAC ) và ( SBD ) ; ( SAD ) và ( SBC )

a) Trong \[\left( {ABCD} \right)\] gọi \[O = AC \cap BD \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

Ta có  \[S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

Suy ra \[SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)}\\{AD\parallel BC}\\{AD \subset \left( {SAD} \right);BC \subset \left( {SBC} \right)\,}\end{array}} \right.\]

Suy ra \[Sx = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\] với \[Sx\parallel AD\parallel BC\]

b) Ta thấy \[SA \subset \left( {SAD} \right)\]

Trong \[\left( {ABCD} \right)\] gọi \[E = AD \cap MN \Rightarrow E \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)\]

Lại có \[P \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)\]

Suy ra \[PE = \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)\]

Trong \[\left( {SAD} \right)\] gọi \[I = SA \cap PE\]

Mà \[PE \subset \left( {MNP} \right) \Rightarrow I = SA \cap \left( {MNP} \right)\]

c) Xét tam giác SAD có : \[I,\,P,E\] thẳng hàng và lần lượt thuộc SA,SD,AD

Theo định lý Menelaus ta có \[\frac{{IS}}{{IA}}.\frac{{PD}}{{PS}}.\frac{{EA}}{{ED}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{IS}}{{IA}}.1.\frac{{EA}}{{ED}} = 1\]

Lại có DE song song BC, suy ra \[\frac{{DE}}{{MC}} = \frac{{ND}}{{NC}} = 1 \Rightarrow DE = MC \Rightarrow DE = \frac{1}{2}DA \Rightarrow \frac{{EA}}{{ED}} = 3\]

Khi đó ta có \[\frac{{IS}}{{IA}}.1.3 = 1 \Rightarrow \frac{{IS}}{{IA}} = \frac{1}{3}\].