Cho hình chóp S.ABCcó mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2

49/50

Cho hình chóp S.ABCcó mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H nằm trong tam giác ABC sao cho AHB⏜=150°,BHC⏜=120°,CHA⏜=90° Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC, S.HCA là 1243π . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

VS.ABC=92

VS.ABC=43

VS.ABC=4a3

VS.ABC=4

Giải thích

Đáp án B

Gọi r1,r2,r3 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔHAB,ΔHBC,ΔHCA

Theo định lí Sin, ta có ABsinAHB⏜=2r1⇒r1=22.sin150°=2; tương tự r2=233r3=1

Gọi R1,R2,R3 lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB,S.HBC,S.HCA

Đặt SH=2x⇒R1=r12+SH24=x2+4;R2=x2+34và R3=x2+1

Suy ra ∑S=S1+S2+S3=4πR12+4πR22+4πR32=4π3x2+193=124π3⇒x=233

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là V=13.SH.SΔABC=13.433.2234=43

Chú ý: “Cho hình chóp S.ABCcó SA vuông góc với đáy và RΔABC là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC→R=RΔABC2+SA24 là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC”