Cho hình chóp S.ABC. Gọi G là trọng tâm △SAB. Mặt phẳng (α) qua G song song với SC và AB. Xét tính đúng hay sai của các khẳng định sau:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì AB ⊂ (SAB), AB ∥ (α) và G ∈ (SAB) ∩ (α), nên giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (SAB) là đường thẳng đi qua G và song song với AB.

b) Sai. Gọi đường thẳng đi qua G và song song với AB cắt SA, SB lần lượt tại M, N. Khi đó M, N ∈ (α), nên MN = (SAB) ∩ (α), MN ∥ AB.

Do M ∈ SA ⊂ (SAC) và M ∈ (α), nên M ∈ (SAC) ∩ (α).

Mà SC ⊂ (SAC) và SC ∥ (α), nên (α) ∩ (SAC) là đường thẳng đi qua M và song song với SC.

Vậy khẳng định “giao tuyến của (α) với (SAC) là đường thẳng đi qua G và song song với SC” là sai.

c) Đúng. Theo câu b), ta có (α) ∩ (SAB) =MN, MN ∥ AB (1).

Gọi đường thẳng đi qua M và song song với SC cắt AC tại Q; đường thẳng đi qua N và song song với SC cắt BC tại P.

Khi đó, (α) ∩ (SBC) = NP, NP ∥ SC và (α) ∩ (SAC) = MQ, MQ ∥ SC (2).

Mặt khác, (α) ∩ (ABC) = PQ.

Vì AB ⊂ (ABC) và AB ∥ (α), nên PQ ∥ AB (3).

Từ (1), (2), (3) ⇒ MN ∥ PQ, MP ∥ NQ.

Tứ giác MNPQ có: MN ∥ PQ, MQ ∥ NP ⇒ MNPQ là hình bình hành.

Vậy thiết diện của (α) với hình chóp là một hình bình hành.

d) Sai. Theo câu c), thiết diện của (α) với hình chóp là hình bình hành, nên không thể là hình tam giác.