Cho hình chóp S.ABC, điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2MB. Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với SA và BC. Gọi d = (α) ∩ (SAC). Xét tính đúng hay sai của các mệnh đề sau:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Theo đề bài ta có: (α) đi qua M và (α) ∥ SA, BC.

Trong mặt phẳng (ABC), qua M kẻ đường thẳng MN ∥ BC, cắt AC tại N. Khi đó N ∈ (α).

Mặt phẳng (SAC) chứa đường thẳng SA, đồng thời SA ∥ (α).

⇒ Giao tuyến d = (α) ∩ (SAC) là đường thẳng đi qua N và song song với SA.

Vì SC không song song với SA nên d ∥ SC là sai.

b) Sai. Điểm M ∈ AB nên M ∈ (α).

Tuy nhiên, AB cắt mặt phẳng (SAC) tại A.

Mà M ≠ A (do AM = 2MB) ⇒ M ∉ (SAC).

Vì d = (α) ∩ (SAC), muốn M ∈ d thì M phải thuộc đồng thời hai mặt phẳng, điều này không xảy ra.

⇒ M ∉ d.

c) Đúng. Theo định nghĩa, d = (α) ∩ (SAC) là giao tuyến của hai mặt phẳng.

Do đó mọi điểm thuộc d đều thuộc (SAC).

⇒ d ⊂ (SAC).

d) Đúng. Từ phần (a), ta có N ∈ AC và N ∈ (α).

Lại có N ∈ (SAC) vì AC ⊂ (SAC).

Do đó N là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (SAC) ⇒ N ∈ d.

Mà N ∈ AC ⇒ d cắt cạnh AC tại N.