Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại A , cạnh huyền BC = 6 ( cm ) , các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc 60 o . Kéo biểu thức trong các ô thả vào vị trí thích hợp trong c

Đáp án đúng là: \(6cm;\)\(48\pi {\mkern 1mu} c{m^2}\)Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right).\) Gọi \(O\) là trung điểm của \(BC.\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,O\) là trung điểm của \(BC.\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,O\) là trung điểm của cạnh huyền \(BC,\) suy ra \(OA = OB = OC\left( 1 \right)\)

Xét các tam giác \(\Delta SHA,\Delta SHB,\Delta SHC\)có:   $\left\{\begin{array}{l}SH\text{\hspace{0.17em}chung}\\ \stackrel{⏜}{SHA}=\stackrel{⏜}{SHB}=\stackrel{⏜}{SHC}={90}^o\\ \stackrel{⏜}{SAH}=\stackrel{⏜}{SBH}=\stackrel{⏜}{SCH}={90}^o\end{array}\right.$

\( \Rightarrow \Delta SHA = \Delta SHB = \Delta SHC{\rm{ (g}}{\rm{.c}}{\rm{.g)}} \Rightarrow HA = HB = HC\)

$\widehat{SAH}=\widehat{SBH}=\widehat{SCH}={60}^{°}$

\( \Rightarrow \Delta SBC\)đều cạnh bằng \(6\left( {cm} \right).\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(H\) trùng \(O.\) Khi đó \(H\) là trục đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

Trong \(\Delta SAH\)dựng trung trực của \(SA\) cắt \(SH\) tại \(I.\)

Khi đó \(IA = IB = IC = IS.\) Vậy \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\)

\(\Delta SBC\)đều cạnh bằng \(6\left( {cm} \right)\) \( \Rightarrow SO = 3\sqrt 3 \Rightarrow SI = \frac{2}{3} \cdot SO = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt 3 = 2\sqrt 3 .\)

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là: \(S = 4\pi {(2\sqrt 3 )^2} = 48\pi {\mkern 1mu} (c{m^2}).\)

Đáp án cần chọn là: \(6cm;\)\(48\pi {\mkern 1mu} c{m^2}\)