Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại A , ˆ ABC = 30 ∘ , mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( S

17/49

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A,\widehat {ABC} = 30^\circ $, mặt bên $SBC$ là tam giác đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ là:

$\frac{{a\sqrt {39} }}{{26}}$.

$\frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}$.

$\frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.

$\frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}$.

Giải thích

$Cho hàm số \(f\left( x \r (ảnh 1)$

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $BC$.

Vì mặt bên $SBC$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên $SH \bot \left( {ABC} \right)$

Gọi I là hình chiếu của $H$ trên $AB$, $K$ là hình chiếu của $H$ trên $SI$.

Khi đó $HK \bot \left( {SAB} \right)$ nên $HK = d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)$.

$\Delta SBC$ đều nên $H$ là trung điểm $BC \Rightarrow BH = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}$;

$HI = BH \cdot \sin 30^\circ = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{4}$ và $SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Ta có $\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {39} }}{{26}}$.

Ta có $\frac{{d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)}} = \frac{{CB}}{{HB}} = 2$

$ \Rightarrow d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = 2HK = 2 \cdot \frac{{a\sqrt {39} }}{{26}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}$. Chọn B.