Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB = a . Cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy, góc tạo bởi hai mặt phẳng ( ABC ) và ( SBC ) bằng 60 ∘ .

26/50

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B,$$AB = a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ bằng $60^\circ $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$ bằng:

\[a\].

\[\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\].

\[\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].

\[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

Giải thích

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right).$

Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là góc $\widehat {SBA} = 60^\circ .$ Do đó $SA = a \cdot \tan 60^\circ = a\sqrt 3 .$

Dựng $D$ sao cho $ABCD$ là hình vuông. Dựng $AE \bot SD$ tại E.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AE.$

$Mà $AE \bot SD$ suy ra \(A (ảnh 1)$

Mà $AE \bot SD$ suy ra $AE \bot \left( {SCD} \right).$ Ta có $d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AE.$

Mà $AE = \frac{{AS \cdot AD}}{{SD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$ Vậy $d\left( {AB,SC} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$ ChọnD.