Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , 2 SA = AC = 2 √ 6 và S A vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .

24/25

(1 điểm). Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B,\,2SA = AC = 2\sqrt 6 $ và $SA$ vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam (ảnh 1)$

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AB\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{BC \bot SA\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{AB,\,SA \subset \left( {SAB} \right),\,AB \cap SA = A}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)} \right.$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ kẻ $AH \bot SB\,\,\left( {H \in SB} \right)$(1).

Mà $BC \bot \left( {SAB} \right)$$ \Rightarrow AH \bot BC$ (2).

Có $BC,\,SB \subset \left( {SBC} \right),\,BC \cap SB = B$ (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $AH \bot \left( {SBC} \right)$. Khi đó $d\left( {A,\,\left( {SBC} \right)} \right) = AH$.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2\sqrt 6 }}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 3 $.

Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao nên $AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 \cdot 2\sqrt 3 }}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = 2$.

Vậy $d\left( {A,\,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = 2$.