Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều, cạnh đáy là a = 4 √ 2 cm , cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 2 cm . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC . S

Đáp án: \[45\] độ.

Gọi \[D\] là trung điểm của \(AN\).

+) Xét \[\Delta ABN\] có: \[M\] là trung điểm của \[AB\] và \[D\] là trung điểm của \[AN\].

\[ \Rightarrow MD\] là đường trung bình của \[\Delta ABN\]\[ \Rightarrow MD//BN\].

\[ \Rightarrow \] Góc giữa \[SM\] và \[BN\] bằng góc giữa \[SM\] và \[MD\].

+) Xét \[\Delta ABC\] đều có cạnh là \[a = 4\sqrt 2 \,cm\], \[BN\] vừa là trung tuyến vừa là đường cao.

\[ \Rightarrow BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{4\sqrt 2 .\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 6 \,\,cm\].

Mà \[MD = \frac{1}{2}BN\] (tính chất đường trung bình) \[ \Rightarrow MD = \frac{1}{2}.2\sqrt 6  = \sqrt 6 \,\,cm\].

+) Ta có: \[SB \bot \left( {ABC} \right)\]\[ \Rightarrow SB \bot BM\]\[ \Rightarrow \Delta SBM\] là tam giác vuông tại \[B\]

\[ \Rightarrow SM = \sqrt {S{B^2} + B{M^2}}  = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\frac{{4\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = 2\sqrt 3 \,\,cm\].

+) \[\Delta BND\] vuông tại \[N\]\[ \Rightarrow BD = \sqrt {B{N^2} + N{D^2}}  = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 6 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{4\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}  = \sqrt {26} \,\,cm\].

+) \[\Delta SBD\] vuông tại \[B\]\[ \Rightarrow SD = \sqrt {S{B^2} + B{N^2}}  = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\sqrt {26} } \right)}^2}}  = \sqrt {30} \,\,cm\].

+) \[\cos \widehat {SMD} = \frac{{S{M^2} + M{D^2} - S{D^2}}}{{2.SM.MD}} = \frac{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {30} } \right)}^2}}}{{2.2\sqrt 3 .\sqrt 6 }} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

\[ \Rightarrow \widehat {SMD} = {\cos ^{ - 1}}\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 135^\circ \].

\[ \Rightarrow \] Góc giữa đường thẳng \[SM\] và \[BN\] bằng \[180^\circ  - 135^\circ  = 45^\circ \].