Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , góc giữa S B và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 ∘ , M là trung điểm của AB .

38/38

(1,0 điểm) Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác đều cạnh \[a,{\rm{ }}SA\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\], góc giữa \[SB\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[60^\circ \], \[M\] là trung điểm của \[AB.\] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[SM{\rm{ v\`a }}BC\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$a) Ta có \(\left. \begin{array}{l} (ảnh 1)$

Gọi $N,I$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$.

$MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ $ \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,BC$$ \Rightarrow BC\,{\rm{//}}\,\left( {SMN} \right)$.

Khi đó ta có $d\left( {BC,SM} \right) = d\left( {BC,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {SMN} \right)} \right)$$ = d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right)$.

Dễ thấy $BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow MN \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow \left( {SMN} \right) \bot \left( {SAI} \right)$ theo giao tuyến $SH$ với $H$ là giao điểm của $MN$ và $AI$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAI} \right)$ kẻ $AK \bot SH$$\left( {K \in SH} \right)$$ \Rightarrow AK \bot \left( {SMN} \right)$.

Vậy $d\left( {BC,SM} \right) = d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = AK$.

Ta có $AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \frac{1}{2}AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}$.

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ $$ \Rightarrow SA = AB\tan 60^\circ = a\sqrt 3 .$

Ta có $\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{{16}}{{3{a^2}}} = \frac{{17}}{{3{a^2}}}$$ \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt {51} }}{{17}}$.

Vậy $d\left( {BC,SM} \right) = \frac{{a\sqrt {51} }}{{17}}$.