Cho hình chóp S , ABC có đáy là tam giác đều cạnh 6 . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm của đoạn thẳng AB . Biết góc phẳng nhị diện [ S , BC , A ]

Đáp án: 23,4.

Gọi \(I\) là trung điểm \(BC\), \(M\) là trung điểm của \(BI\), \(H\) là trung điểm \(AB\).

Ta có  \(BC \bot \left( {SHM} \right)\)

Suy ra góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\) là góc\(\widehat {SMH} = 60^\circ \)

Ta có \(HM = \frac{1}{2}AI = \frac{1}{2}.6\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

\(\tan 60^\circ  = \frac{{SH}}{{HM}} \Rightarrow SH = HM.\tan 60^\circ  = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3  = \frac{9}{2}\).

\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{9}{2}{.6^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{27\sqrt 3 }}{2} \approx 23,4\).