Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = 1 , BC = √ 2 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = √ 2 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC .

21/22

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB = 1$, $BC = \sqrt 2 $, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = \sqrt 2 $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ (ảnh 1)$

Dựng điểm D sao cho $ABCD$ là hình chữ nhật. Ta có $AB\,{\rm{//}}\,CD$ nên \[AB\,{\rm{//}}\,\left( {SCD} \right)\].

Khi đó $d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)$.

Trong $\left( {SCD} \right)$, dựng $AH \bot SD$ ($H \in SD$).

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AH\].

Có \[\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SD\\AH \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right)\]. Do đó $d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH$.

Ta có $AD = BC = \sqrt 2 $.

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{2{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow AH = a$. Vậy $d\left( {AB,SC} \right) = AH = 1$.