Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B

23/50

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B,AB=3a,BC=4a và SA⊥ABC. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng

53a

5a2

53a79

103a79

Giải thích

Đáp án D

Gọi N là trung điểm của BC

Ta có AB//MN⇒dAB;SM=dA;SMN

SA=ACtan60°=5a3

SM=5a32+5a22=5a132

SN2=SB2+BN2=SA2+AB2+BC22=5a32+3a2+2a2=88a2

⇒SN=2a22

MN=AB2=3a2

Ta có:

SM2=NS2+NM2−2NS.NM.cosMNS^⇔5a13222=88a2+3a22−2.2a.22.3a2cosMNS^

cosMNS^=3222⇒sinMNS^=7988

SSMN=12NM.NS.sinMNS⏜=12.3a2.2a22.7988=3a2794

SAMN=14SABC=14.12.3a.4a=3a22;VS.AMN=13SA.SAMN=13.5a3.3a22=5a332

dA;SMN=3VS.AMNSSMN=3.5a3323a2794=10a379