Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ⊥ ( ABC ) . Mặt phẳng ( SBC ) cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng ( ABC ) góc 30 độ .

Gọi \[I\] là trung điểm của \[BC\], khi đó góc giữa mp\[\left( {SBC} \right)\] và mp\[\left( {ABC} \right)\] là \[\widehat {SIA} = {30^0}\].

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \[A\] trên \[SI\] suy ra \[d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = a\].

Xét tam giác \[AHI\] vuông tại \[H\] suy ra \[AI = \frac{{AH}}{{\sin {{30}^0}}} = 2a\].

Giả sử tam giác đều \[ABC\] có cạnh bằng \[x\], mà \[AI\] là đường cao nên: \(2a = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = \frac{{4a}}{{\sqrt 3 }}\).

Diện tích tam giác đều \[ABC\] là \[{S_{ABC}} = {\left( {\frac{{4a}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{3}\].

Xét tam giác \[SAI\] vuông tại \[A\] suy ra \[SA = AI.\tan {30^0} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\].

Vậy \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{3}.\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{8{a^3}}}{9}\].