Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết SA = a √ 2 và S A vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu vuông góc của A lên SM

a) Ta có tam giác \[ABC\] là tam giác đều và \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(AM \bot BC\).

Mà \(SA \bot BC\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\), do đó \[BC \bot \left( {SAM} \right)\]. Suy ra \[BC \bot AH\].

Vì \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[A\] lên \[SM\] nên \[AH \bot SM\].

Ta suy ra \[AH \bot \left( {SBC} \right)\].

b) Vì \[AH \bot \left( {SBC} \right)\] nên \[SH\] là hình chiếu của \[SA\] lên mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\].

c) Từ b) ta suy ra góc giữa đường thẳng \[SA\] và mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] là góc \[\alpha = \widehat {ASH}\].

Xét tam giác \[SAM\] vuông tại \[A\] ta có:

\[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}}\]\[ \Rightarrow A{H^2} = \frac{{6{a^2}}}{{11}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\].

Xét tam giác \[SAH\] vuông tại \[H\] ta có: \[\sin \widehat {ASH} = \frac{{AH}}{{SA}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {33} }}{{11}}\].

Do đó, \(\cos \widehat {ASH} = \frac{{2\sqrt {22} }}{{11}}\).