Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C , AC = BC = a √ 10 , mặt bên SAB là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC v

31/38

Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác cân tại \[C\], $AC = BC = a\sqrt {10} $, mặt bên$SAB$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng \[SC\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng

$30^\circ $.

$45^\circ $.

$90^\circ $.

$60^\circ $.

Giải thích

Đáp án đúng là: A

$Đáp án đúng là: A Góc $BHD$ là một góc phẳng của góc nhị diện \[\left[ {B,\,AC',\,D} \right]\]. (ảnh 1)$

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$.

Vì tam giác $SAB$ là tam giác đều nên $SH \bot AB$.

Lại có $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$ và $\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB$. Do đó, $SH \bot \left( {ABC} \right)$.

Khi đó góc giữa đường thẳng \[SC\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng $\widehat {SCH}$.

Vì tam giác $SAB$ là tam giác đều cạnh $2a$nên $SH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $.

Vì tam giác \[ABC\] là tam giác cân tại \[C\] nên $CH \bot AB$.

Ta có $AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a$.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông $ACH$ ta được:

$CH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt {10} } \right)}^2} - {a^2}} = 3a$.

Lại có $SH \bot CH$ (do $SH \bot \left( {ABC} \right)$) nên tam giác $SHC$ vuông tại $H$, do đó ta có:

$\tan \widehat {SCH} = \frac{{SH}}{{HC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{3a}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$. Suy ra $\widehat {SCH} = 30^\circ $.