Cho hình chóp S . ABC có AB = 2 √ 3 ; BC = 6 ; ˆ ABC = 60 ∘ . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC ) là một điểm thuộc cạnh BC. Góc giữa đường thẳng S A và mặt phẳng ( A B

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\),\(H \in BC\).

\[\widehat {\left( {SA,(ABC)} \right)} = \widehat {SAH} = 45^\circ  \Rightarrow \]\(\Delta SHA\) vuông cân \( \Rightarrow SH = HA.\)

\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH = \frac{1}{3}.AH.\frac{1}{2}AB.BC.sin\widehat {ABC}\)\( = \frac{1}{6}.AH.2\sqrt 3 .6.sin60^\circ  = 3.AH.\)

Do đó: \({V_{min}} \Leftrightarrow A{H_{min}} \Leftrightarrow AH \bot BC\) tại \(H\).

Ta có: \(sin\widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AH = AB.\sin 60^\circ  = 2\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\)

Vậy \({V_{\min }} = 3.3 = 9\).