Cho hình chóp S . A B C D có đáy là hình vuông cạnh 8 , mặt bên S A B đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( S A C ) là a√ b/c (phâ

78/100

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh 8 , mặt bên $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ là $\frac{{a\sqrt b }}{c}$ (phân số tối giản với $c > 0$). Tính $a + {b^2} - {c^3}$.

-485.

-214.

106.

203.

Giải thích

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh 8 , mặt bên $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ là $\frac{{a\sqrt b }}{c}$ (phân số tối giản với $c > 0$). Tính $a + {b^2} - {c^3}$. A. -485. B. -214. C. 106. D. 203. (ảnh 1)$

Kẻ $SH \bot AB \Rightarrow H$ là trung điểm của $AB$.

Do $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$ và $\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB$ nên từ $SH \bot AB$ ta được $SH \bot \left( {ABCD} \right)$.

Mặt khác ta có $BA \cap \left( {SAC} \right) = \left\{ A \right\}$ và $H$là trung điểm của $AB$ nên ta có $d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAC} \right)} \right)$.

Trong $\left( {ABCD} \right)$ kẻ $HK \bot AC\left( {K \in AC} \right)$ và trong $\left( {SHK} \right)$ kẻ $HE \bot SK\left( {E \in SK} \right)$.

Ta có: $SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot AC$. Kết hợp với $HK \bot AC$ ta được $AC \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow AC \bot HE$.

Hơn nữa $HE \bot SK$ nên $HE \bot \left( {SAC} \right)$.

Vậy $d\left( {H,\left( {SAC} \right)} \right) = HE \Rightarrow d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = 2HE$.

Trong $\left( {ABCD} \right)$ ta có

△AKH∽△ABCg.g⇒AHHK=ACBC⇒HK=BC.AHAC=8.482=22

Mặt khác do đều nên $SH = \frac{{8\sqrt 3 }}{2} = 4\sqrt 3 $. Áp dụng hệ thức lượng trong ta có

$\frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{H{K^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}} \Rightarrow HE = \frac{{4\sqrt {21} }}{7} \Rightarrow d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{8\sqrt {21} }}{7}$. Suy ra $a = 8,b = 21,c = 7$.

Vộy $a + {b^2} - {c^3} = 106$.

Chọn C