Cho hình chóp S . A B C D có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2 √ 3 , ˆBAD = 60 ∘ , gọi I là giao điểm AC và BD . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABCD ) là H sao cho H là

22/22

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh$2\sqrt 3 $, $\widehat {BAD} = 60^\circ $, gọi I là giao điểm $AC$ và $BD$. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng $(ABCD)$ là $H$ sao cho $H$ là trung điểm của $BI$. Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ bằng $45^\circ $. Thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$là $\sqrt a $. Tìm $a$?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là (ảnh 1)$

Tam giác $ABD$ đều cạnh $2\sqrt 3 $$ \Rightarrow $ $BD = 2\sqrt 3 \Rightarrow IH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác $ABC:\,\,AC = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.2\sqrt 3 .2\sqrt 3 .c{\rm{os120}}^\circ } = 6 \Rightarrow IC = 3$

Xét tam giác $IHC$ vuông tại \[I\]: $HC = \sqrt {I{H^2} + I{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {3^2}} = \frac{{\sqrt {39} }}{2}$

Do tam giác $SHC$ vuông tại $H$, có $\widehat {SCH} = \left( {SC,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = 45^\circ $nên tam giác $SHC$ vuông cân tại $H$. Suy ra: $HC = SH = \frac{{\sqrt {39} }}{2}$

Thể tích khối chóp $S.ABCD$: \[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.AC.BD.SH = \frac{1}{6}.6.2\sqrt 3 .\frac{{\sqrt {39} }}{2} = \sqrt {117} \]

Vậy $a = 117$