Cho hình chóp S . A B C D có đáy A B C D là hình vuông tâm O , A B = a . Cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = 3 a . Gọi M là trung điểm của S B , N là điểm trên cạnh S D sao

89/100

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O,AB = a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA = 3a$. Gọi $M$ là trung điểm của $SB,N$ là điểm trên cạnh $SD$ sao cho $SN = 2ND$. Tính thể tích khối tứ diện $ACMN$.

$\frac{{{a^3}}}{4}$.

$\frac{{{a^3}}}{3}$.

$\frac{{{a^3}}}{6}$.

$\frac{{{a^3}}}{{12}}$.

Giải thích

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O,AB = a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA = 3a$. Gọi $M$ là trung điểm của $SB,N$ là điểm trên cạnh $SD$ sao cho $SN = 2ND$. Tính thể tích khối tứ diện $ACMN$. A. $\frac{{{a^3}}}{4}$. B. $\frac{{{a^3}}}{3}$. C. $\frac{{{a^3}}}{6}$. D. $\frac{{{a^3}}}{{12}}$. (ảnh 1)$

Ta có: ${V_{ACMN}} = {V_{S.ABCD}} - {V_{SAMN}} - {V_{SMNC}} - {V_{BAMC}} - {V_{DANC}}$

$\frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABD}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow {V_{SAMN}} = \frac{1}{6}{V_{S.ABCD}}$

$\frac{{{V_{SMNC}}}}{{{V_{SBDC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{3}$

$ \Rightarrow {V_{SMNC}} = \frac{1}{6}{V_{S.ABCD}}$ .

${V_{MABC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}}$

${V_{NADC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{6}{V_{S.ABCD}}$

Suy ra ${V_{ACMN}} = \left( {1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6}} \right){V_{S.ABCD}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}}$

Mà ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.3a.{a^2} = {a^3}$ nên ${V_{ACMN}} = \frac{{{a^3}}}{4}$.

Chọn A