Cho hình chóp S . A B C D có đáy A B C D là hình thoi cạnh a tâm O , S O ⊥ ( A B C D ) , S O = a √ 6 3 , O B = a √ 3 3 . Góc phẳng nhị diện [ A , B C , S ] có số đo bằng

12/21

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) tâm \(O\), \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{3},OB = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\) có số đo bằng

\(30^\circ \).

\(45^\circ \).

\(60^\circ \).

\(90^\circ \).

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Cho hình chóp S . A B C D có đáy A B C D là hình thoi cạnh a tâm O , S O ⊥ ( A B C D ) , S O = a √ 6 3 , O B = a √ 3 3 . Góc phẳng nhị diện [ A , B C , S ] có số đo bằng (ảnh 1)

Hạ \(OH \bot BC\) mà \(SO \bot BC\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) nên \(BC \bot \left( {SOH} \right) \Rightarrow BC \bot SH\).

Do đó \(\left[ {A,BC,S} \right] = \widehat {SHO}\).

Có \(OC = \sqrt {B{C^2} - O{B^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{3{a^2}}}{9}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Xét \(\Delta BOC\) có \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{9}{{3{a^2}}} + \frac{9}{{6{a^2}}} = \frac{9}{{2{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

Xét \(\Delta SOH\) có \(\tan \widehat {SHO} = \frac{{SO}}{{OH}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}:\frac{3}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 3 \)\( \Rightarrow \widehat {SHO} = 60^\circ \).