Cho hình chóp S . A B C D có đáy A B C D là hình chữ nhật, cạnh bên S A vuông góc với đáy. Tính diện tích hình chiếu của Δ S B C trên mặt phẳng ( S A C ) biết S A = A B = 2 a ; A D

12/21

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. Tính diện tích hình chiếu của \(\Delta SBC\) trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) biết \(SA = AB = 2a;AD = a\).

\({a^2}\sqrt 2 \).

\(\frac{{{a^2}\sqrt 5 }}{2}\).

\({a^2}\).

\(\frac{{{a^2}\sqrt 5 }}{5}\).

Giải thích

Đáp án đúng là: D

Cho hình chóp S . A B C D có đáy A B C D là hình chữ nhật, cạnh bên S A vuông góc với đáy. Tính diện tích hình chiếu của Δ S B C trên mặt phẳng ( S A C ) biết S A = A B = 2 a ; A D = a . (ảnh 1)

Hạ \(BH \bot AC\) mà \(SA \bot BH\) (do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)) nên \(BH \bot \left( {SAC} \right)\).

Do đó hình chiếu của \(\Delta SBC\) trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là \(\Delta SHC\).

Có \(B{C^2} = HC.CA \Rightarrow HC = \frac{{B{C^2}}}{{CA}} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 5 }}\).

Khi đó \({S_{\Delta SHC}} = \frac{1}{2}.SA.HC = \frac{1}{2}.2a.\frac{a}{{\sqrt 5 }} = \frac{{{a^2}\sqrt 5 }}{5}\).