Cho hình chóp S . A B C có tam giác A B C vuông tại B , B C = 3 , B A = 2 , S A vuông góc với mặt phẳng ( A B C ) và S A = 2.

a) Diện tích tam giác\(ABC\)là. \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC \times BA = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3.\]

Thể tích của hình chóp\(S.ABC\)có công thức là. \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \times S \times h = \frac{1}{3} \times 3 \times 2 = 2.\]

Vậy đáp án câu a) là SAI.

b) Vì \(SA \bot (ABC)\) nên \(SA \bot BC.\)Ta cũng có\(AB \bot BC\)nên \(BC \bot (SAB).\)

Suy ra khoảng cách từ \(C\)đến mặt phẳng \((ABC)\)là \(3.\)

Vậy đáp án câu b) là SAI.

c) Vì \(BC \bot (SAB)\) nên \(BC \bot SB.\) Ta cũng có \(AB \bot BC\) nên góc nhị diện \([S,BC,A]\) có số đo bằng với góc phẳng nhị diện \[\angle SBA.\]

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A,\) có \(AB = 2\)và \(SA = 2\) nên \[\angle SBA = 45^\circ .\]

Vậy đáp án câu c) là ĐÚNG.

d) Ta có \[\overrightarrow {SB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = (\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AB} ) \cdot \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} .\]

Mà \(SA \bot (ABC)\) nên \(SA \bot AC.\) Suy ra \[\overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 0.\]

Vậy \[\overrightarrow {SB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos (\angle BAC) = AB.AB = 4.\]

Vậy đáp án câu d) là ĐÚNG.