Cho hình chóp ngũ giác đều có tổng diện tích

41/50

Cho hình chóp ngũ giác đều có tổng diện tích tất cả các mặt là S=4. Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp ngũ giác đều đã cho có dạng maxV=a10btan360, trong đó a,b∈ℕ*,ab là phân số tối giản. Hãy tính T=a+b

Giải thích

Chọn B

Gọi hình chóp ngũ giác đều đã cho là S.ABCDE có O là tâm của đáy ABCDE,I là trung điểm cạnh CD.

⇒SO⊥ABCDE và OI⊥CD⇒CD⊥SOI.

Lại có: COI^=12COD^=360⇒IC=OI.tan360

Dễ thấy: SΔSCD+SΔOCD=15S=45⇒12SI.CD+12OI.CD=45⇒SI.IC+OI.IC=45

⇒SI.OI.tan360+OI2.tan360=45⇒SI=45.IO.tan360−OI

⇒SO=SI2−OI2=45.OI.tan360−OI2−OI2=1625.OI2.tan2360−85tan360

Thể tích khối chóp S.ABCDE là: V=13SO.SABCDE=13SO.5SΔCOD=53SO.12OI.CD

=53SO.OI.IC=421625.OI2.tan2360−85tan360.OI2.tan360

=10235tan36025−OI2.tan360.OI2.tan360≤10235tan360.25−OI2.tan360+OI2.tan3602

=10235tan360.15=21015tan360

Vậy: a=2;b=15⇒T=a+b=17.