Cho hình chóp đều \[S.ABCD\] có tất cả các cạnh đều bằng \[a\].

11/22

Cho hình chóp đều \[S.ABCD\] có tất cả các cạnh đều bằng \[a\]. Gọi \[\varphi \] là góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?

\[\tan \varphi = \sqrt 6 \].

\[\tan \varphi = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].

\[\tan \varphi = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].

\[\tan \varphi = \sqrt 2 \].

Giải thích

$Cho hình chóp đều \[S.ABCD\] có tất cả các cạnh đều bằng \[a\]. (ảnh 1)$

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Do hình chóp $S.ABCD$ đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

Gọi $M$ là trung điểm của $SD$. Tam giác $SCD$ đều nên $CM \bot SD$.

Tam giác $SBD$ có $SB = SD = a$, $BD = a\sqrt 2 $.

Suy ra $\Delta SBD$ vuông tại $S$$ \Rightarrow SB \bot SD$ mà $SB$//$OM$$ \Rightarrow OM \bot SD$.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là góc $\widehat {OMC}$.

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC = a\sqrt 2 $$ \Rightarrow OC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$; $OM = \frac{1}{2}SB = \frac{a}{2}$.

Dễ dàng chứng minh$AC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow OC \bot OM$

Xét $\Delta MOC$ vuông tại $O$ ta có $\tan \widehat {OMC} = \frac{{OC}}{{OM}} = \sqrt 2 $.