Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng 2a. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng bằng:

16/233

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(2a\). Khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng:

\(\frac{{2\sqrt 6 }}{3}a\).

\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}a\).

\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}a\).

\(\frac{{\sqrt 6 }}{2}a\).

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Lời giải

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có \(DB = 2OB \Rightarrow d\left( {D;\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right)\)

Ta kẻ \(OI \bot AB\) và \(OH \bot SI\), do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot OI}\\{AB \bot SO}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow OH \bot AB} \right.\)

Mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OH \bot AB}\\{OH \bot SI}\end{array} \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OH} \right.\).

Ta lại có \(OI = \frac{1}{2}BC = a,AO = \frac{1}{2}AC = a\sqrt 2 \). Suy ra \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = a\sqrt 2 \).

Do đó \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{\sqrt 6 }}{3}a\)

Vậy \(d\left( {D;\left( {SAB} \right)} \right) = 2OH = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}a\).