Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng 2a, điểm M thuộc cạnh SC sao cho SM=2MC.

Phương pháp giải

Định lý Ta-lét

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD,I = AM \cap SO.\)

Trong (SBD), kẻ đường thẳng \(\Delta \) song song với BD cắt SB,SD lần lượt tại N,P.

Khi đó thiết diện là tứ giác ANMP.

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AC,}\\{BD \bot SO}\end{array}} \right. \Rightarrow BD \bot (SAC) \Rightarrow BD \bot AM.\)

Mặt khác\(BD\parallel NP \Rightarrow AM \bot NP \Rightarrow {S_{ANMP}} = \frac{1}{2}NP \cdot AM\).

Lại có:

Suy ra: \(AM = \sqrt {S{A^2} + S{M^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3} \cdot 2a} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt {13} }}{3}a.\)

Ta có:\(\frac{{NP}}{{BD}} = \frac{{SI}}{{SO}} \Rightarrow NP = \frac{{SI}}{{SO}} \cdot BD.\)

Ta thấy A,I,M thẳng hàng nên: \(\frac{{SI}}{{SO}} \cdot \frac{{AO}}{{OI}} \cdot \frac{{MC}}{{MS}} = 1 \Rightarrow \frac{{SI}}{{SO}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow SI = \frac{4}{5}SO.\)

Suy ra: \(NP = \frac{4}{5}BD = \frac{4}{5} \cdot 2\sqrt 2 a = \frac{{4\sqrt 2 a}}{5}.\)

Do đó: \({S_{ANMP}} = \frac{1}{2}NP \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot \frac{{4\sqrt 2 a}}{5} \cdot \frac{{2\sqrt {13} a}}{3} = \frac{{8\sqrt {26} {a^2}}}{{15}}.\)

Đáp án đúng: D.