Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, chiều cao hình chóp bằng 3. Thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz sao cho gốc toạ độ O đặt tại tâm của hình vuông, chiều dương
20/22
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, chiều cao hình chóp bằng \(3\). Thiết lập hệ trục toạ độ \(Oxyz\) sao cho gốc toạ độ \(O\) đặt tại tâm của hình vuông, chiều dương của trục \(Oz\) đi qua \(S\). Biết toạ độ điểm \(C\left( {2;0;0} \right)\) và toạ độ của \(\overrightarrow {SA} = \left( {a;b;c} \right)\). Tính \({a^2} + {b^2} + {c^2}\).
Đáp số: ___ .
- Do hệ trục có gốc \(O\) là tâm đáy hình vuông và đường cao hình chóp trùng với phần dương trục \(Oz\), chiều cao bằng \(3\) nên đỉnh \(S\) nằm trên trục cao độ và có tọa độ là \(S\left( {0;0;3} \right)\).
- Điểm \(C\) nằm trên trục hoành có tọa độ cho trước \(C\left( {2;0;0} \right)\). Vì tâm \(O\) là trung điểm của đường chéo hình vuông đáy \(AC\), nên tọa độ điểm \(A\) đối xứng qua gốc tọa độ sẽ có dấu ngược lại với điểm \(C\), tức là \(A\left( { - 2;0;0} \right)\).
Từ tọa độ hai điểm \(S\) và \(A\), ta lập tọa độ vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {SA} \):
\(\overrightarrow {SA} = \left( {{x_A} - {x_S};{y_A} - {y_S};{z_A} - {z_S}} \right) = \left( { - 2 - 0;0 - 0;0 - 3} \right) = \left( { - 2;0; - 3} \right)\).
Đồng nhất với hệ thức bài toán \(\overrightarrow {SA} = \left( {a;b;c} \right)\), ta có \(a = - 2,b = 0,c = - 3\).
Biểu thức tổng bình phương cần tính là: \({a^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( { - 2} \right)^2} + {0^2} + {\left( { - 3} \right)^2} = 4 + 0 + 9 = 13\).
Đáp số: 13.