Cho hình chóp đều \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên hợp với đáy một góc bằng $60^\circ .$ Kí hiệu ${V_1},\,\,{V_2}$ l

35/150

Cho hình chóp đều \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên hợp với đáy một góc bằng $60^\circ .$ Kí hiệu ${V_1},\,\,{V_2}$ lần lượt là thể tích khối cầu ngoại tiếp, thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp đã cho. Tỉ số $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$ bằng

$\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{32}}{9}.$

$\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{32}}{{27}}.$

$\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{2}.$

$\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{9}{8}.$

Giải thích

$Cho hình chóp đều \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên hợp với đáy một góc bằng $60^\circ .$ Kí hiệu ${V_1},\,\,{V_2}$ l (ảnh 1)$

Gọi \[O\] là tâm hình vuông \[ABCD.\] Suy ra $SO \bot \left( {ABCD} \right).$

Và góc giữa cạnh bên SA với mặt đáy \[\left( {ABCD} \right)\] là $\widehat {SAO}.$

Theo giả thiết $\widehat {SAO} = 60^\circ $ nên\[\Delta SAC\] đều $ \Rightarrow SA = a\sqrt 2 $ và $SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.$

Gọi $M$ là trung điểm \[SA.\] Trong $\left( {SAC} \right)$, đường trung trực của cạnh \[SA\] cắt \[SO\] tại \[I.\]

Khi đó, $I = IA = IB = IC = ID$ nên $I$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \[S.ABCD.\]

Tam giác \[SAO\] có $SI \cdot SO = SM \cdot SA \Rightarrow SI = \frac{{S{A^2}}}{{2SO}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} = R.$

Ta lại có, khối nón ngoại tiếp hình chóp có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông \[ABCD\] nên có bán kính đáy $r = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và chiều cao $h = SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.$

Suy ra $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{4}{3} \cdot \pi {{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^3}}}{{\frac{1}{3}\pi {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{{32}}{9}.$ Chọn A.

Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 25)

Cho hình chóp đều \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên hợp với đáy một góc bằng \(60^\circ .\) Kí hiệu \({V_1},\,\,{V_2}\) l