Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a căn 2,

72/100

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \), biết các cạnh bên tạo với đáy một góc \({60^^\circ }\). Giá trị lượng giác tang của góc giữa hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SCD)\) bằng

\(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

\(\frac{{\sqrt {21} }}{3}\).

\(\frac{{\sqrt {21} }}{7}\).

\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Giải thích

Phương pháp giải

Góc giữa hai mặt phẳng

Lời giải

Media VietJack

Kẻ \(OK \bot SC\). Do S.ABCD là hình chóp đều và ABCD là hình vuông nên \(SO \bot (ABCD)\); \(BD \bot (SAC) \Rightarrow SC \bot BD\). Suy ra \(SC \bot (BKD) \Rightarrow KD \bot SC\).

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SCD)\) là \(\widehat {OKD}\) và \(\tan \widehat {OKD} = \frac{{OD}}{{OK}}\) (do \(\Delta KOD\) vuông ở \(O\)) : ABCD là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \) nên \(AC = 2a \Rightarrow OA = OC = OD = a\).

Trong hình chóp đều S.ABCD, cạnh bên tạo với đáy một góc \({60^^\circ }\) nên \(\widehat {SAC} = {60^^\circ }\) \( \Rightarrow SO = OA.\tan {60^^\circ } = a\sqrt 3 \).

Ta có \(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} \Rightarrow OK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \tan \widehat {OKD} = \frac{{OD}}{{OK}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).