Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 1 và cạnh bên SA = 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 0,97
Cách 1. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung \(EF.\)
Cách 2. Tính gián tiếp
Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD;\) \(M\) là trung điểm của \(CD;\) \(H\) là chân đường cao của tam giác \(SOM\) kẻ từ \(O.\)
Ta có,
Mặt khác
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SO \bot (ABCD) \Rightarrow CD \bot SO\\CD \bot OM;SO \cap OM = O\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot (SOM)\\OH \subset (SOM)\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot CD\\OH \bot SM;CD \cap SM = M\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot (SCD)\\ \Rightarrow {\rm{d}}(O,(SCD)) = OH \Rightarrow {\rm{d}}(AB,SD) = 2OH.\end{array}\)
Xét tam giác \(SOD\) vuông tại \(O\) có \(S{O^2} = S{D^2} - O{D^2} = {2^2} - {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{7}{2}\)
Xét tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\) có \(O{H^2} = \frac{{S{O^2}.O{M^2}}}{{S{O^2} + O{M^2}}} = \frac{{\frac{7}{2}.\frac{1}{4}}}{{\frac{7}{2} + \frac{1}{4}}} = \frac{7}{{30}} \Rightarrow OH = \frac{{\sqrt {210} }}{{30}}.\)
Vậy \({\rm{d}}(AB,SD) = 2.\frac{{\sqrt {210} }}{{30}} \approx 0,97.\)
Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục như hình vẽ, ta có: \(A\left( {0; - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right),B\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),D\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),S\left( {0;0;\frac{{\sqrt {14} }}{2}} \right).\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right);\overrightarrow {DS} = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0;\frac{{\sqrt {14} }}{2}} \right);\overrightarrow {AD} = \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right)\\{\rm{d}}(AB,SD) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DS} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DS} } \right]} \right|}} \approx 0,97.\end{array}\).