Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a

103/235

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(2a\) và \(O\) là tâm của đáy. Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là các điểm đối xứng với \(O\) qua trọng tâm của các tam giác \(SAB,SBC,SCD,SDA\) và \(S'\) là điểm đối xứng với \(S\) qua \(O\). Thể tích của khối chóp \(S'.MNPQ\) bằng

\(\frac{{20{a^3}\sqrt {14} }}{{81}}\).

\(\frac{{10{a^3}\sqrt {14} }}{{81}}\).

\(\frac{{{a^3}\sqrt {14} }}{{81}}\).

\(\frac{{2{a^3}\sqrt {14} }}{{81}}\).

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tính thể tích trực tiếp

Lời giải

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a (ảnh 1)

Gọi \({G_1},{G_2},{G_3},{G_4}\) lần lượt là trọng tâm \(\Delta SAB,\Delta SBC,\Delta SCD,\Delta SDA\).

\(E,F,G,H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,BC,CD,DA\).

Ta có \({S_{MNPQ}} = 4{S_{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}} = 4.\frac{4}{9}{S_{EFGH}} = 4.\frac{4}{9}.\frac{1}{2}EG.HF = \frac{{8{a^2}}}{9}\).

\(d\left( {S',\left( {MNPQ} \right)} \right) = d\left( {S',\left( {ABCD} \right)} \right) + d\left( {O,\left( {MNPQ} \right)} \right) = d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) + 2d\left( {O,\left( {{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}} \right)} \right)\)

\( = d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) + \frac{2}{3}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{5}{3}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{{5a\sqrt {14} }}{6}\)

Vậy \({V_{S'.MNPQ}} = \frac{1}{3}.\frac{{5a\sqrt {14} }}{6}.\frac{{8{a^2}}}{9} = \frac{{20{a^3}\sqrt {14} }}{{81}}\).