Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, gọi $O$ là tâm của đáy

15/22

Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, gọi $O$ là tâm của đáy và $SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$. Khi đó:

$AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

ĐúngSai

$d(O,SA) = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}{\rm{. }}$

ĐúngSai

Kẻ đường cao $AI$ của tam giác $ABC$, khi đó: $OI = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$

ĐúngSai

$d(O,(SBC)) = \frac{{a\sqrt {15} }}{{12}}$

ĐúngSai

Giải thích

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

$Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, gọi $O$ là tâm của đáy (ảnh 1)$

Kẻ đường cao $AI$ của tam giác $ABC$, ta có $O$ thuộc $AI$.

Trong mặt phẳng $(SAI)$, dựng $OH \bot SA$ tại $H \Rightarrow d(O,SA) = OH$.

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AO = \frac{2}{3}AI = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = SO$.

Tam giác $SAO$ vuông cân tại $O$ nên $OH = \frac{{SA}}{2} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3} \cdot \sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}$.

Vậy $d(O,SA) = OH = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}{\rm{. }}$

Ta xét khoảng cách từ $O$ đến mặt bên $(SBC)$.

Kẻ đường cao $OK$ của tam giác $SOI$. (1)

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot SO({\rm{ do }}SO \bot (ABC))}\\{BC \bot AI}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAI) \Rightarrow BC \bot OK} \right.$.(2)

Từ (1) và (2) suy ra $OK \bot (SBC)$ hay $OK = d(O,(SBC))$.

Ta có: $OI = \frac{{AI}}{3} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$.

Tam giác $SOI$ vuông tại $O$ có đường cao $OK$ nên

$\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}} \Rightarrow OK = \frac{{SO \cdot OI}}{{\sqrt {S{O^2} + O{I^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{6}}}{{\sqrt {\frac{{3{a^2}}}{9} + \frac{{3{a^2}}}{{36}}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{{15}}$

Vậy $d(O,(SBC)) = OK = \frac{{a\sqrt {15} }}{{15}}$.

Đề kiểm tra Khoảng cách trong không gian (có lời giải)- Đề 3

Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\), gọi \(O\) là tâm của đáy