Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng 3a . a) Tính thể tích khối chóp S . ABCD . b) Tính khoảng cách từ A đến ( SCD ) .

52/55

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên bằng $3a$.

a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

b) Tính khoảng cách từ $A$ đến $\left( {SCD} \right)$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên bằng $3a$. a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$. b) Tính khoảng cách từ $A$ đến $\left( {SCD} \right)$. (ảnh 1)$

a) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $ABCD$ là hình vuông và $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

Xét $\Delta ACD$ vuông tại $D$, có $AC = \sqrt {A{D^2} + C{D^2}} = 2a\sqrt 2 \Rightarrow OC = OD = a\sqrt 2 $.

Xét $\Delta SOC$ vuông tại $O$, ta có $SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = a\sqrt 7 $.

Khi đó ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 7 \cdot 4{a^2} = \frac{{4{a^3}\sqrt 7 }}{3}$.

b) Ta có $\frac{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{AC}}{{OC}} = 2 \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = 2h$.

Do tứ diện $S.OCD$ có $OS,OC,OD$ đôi một vuông góc nên

$\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 7 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{8}{{7{a^2}}}$$ \Rightarrow h = \frac{{a\sqrt {14} }}{4}$.

Vậy $d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}$.