Cho hình chóp đều S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 60 độ . Thể tích khối chóp S . ABC bằng

35/38

Cho hình chóp đều \(S.ABC\)có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên tạo với đáy một góc bằng \(60^\circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABC\)bằng

\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\].

\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\].

\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\].

\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\].

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Đáp án đúng là: B Hình chóp cụt tứ giác đều có 4 cạnh bên. (ảnh 1)

Gọi \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Vì \(S.ABC\) là hình chóp đều nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Khi đó, góc tạo bởi cạnh bên \(SA\) và đáy là góc \(SAH\) và ta có \(\widehat {SAH} = 60^\circ \).

Vì tam giác\(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) nên \(AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Tam giác \(SHA\) vuông tại \(H\) có \(SH = AH\tan \widehat {SAH} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \cdot \tan 60^\circ = a\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Thể tích khối chóp \(S.ABC\)là \(V = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).