Cho hình chóp đều S . A B C D với O là tâm đáy. Khoảng cách từ O đến mặt bên bằng 1 và góc giữa mặt bên với đáy bằng 45 ∘ . Thể tích khối chóp S . A B C D bằng

68/100

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ với $O$ là tâm đáy. Khoảng cách từ $O$ đến mặt bên bằng 1 và góc giữa mặt bên với đáy bằng ${45^ \circ }$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

$\frac{{5\sqrt 3 }}{2}$.

$8\sqrt 2 $.

$5\sqrt 3 $.

$\frac{{8\sqrt 2 }}{3}$.

Giải thích

$Cho hình chóp đều $S.ABCD$ với $O$ là tâm đáy. Khoảng cách từ $O$ đến mặt bên bằng 1 và góc giữa mặt bên với đáy bằng ${45^ \circ }$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng A. $\frac{{5\sqrt 3 }}{2}$. B. $8\sqrt 2 $. C. $5\sqrt 3 $. D. $\frac{{8\sqrt 2 }}{3}$. (ảnh 1)$

Vì $I$ là trung điểm của $CD \Rightarrow OI \bot CD,CD = 2OI$.

Kẻ $OH \bot SI$ tại $H \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {O,SI} \right) = OH = 1$.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SCD) \cap (ABCD) = CD}\\{SI \subset (SCD),SI \bot CD}\\{OI \subset (ABCD),OI \bot CD}\end{array}} \right. \Rightarrow ((SCD),(ABCD)) = (SI,OI) = (SI,AD) = \widehat {SIO} = {45^^\circ }$

Xét tam giác vuông $HIO \Rightarrow OI = \frac{{OH}}{{{\rm{sin}}\widehat {SIO}}} = \frac{1}{{{\rm{sin}}{{45}^ \circ }}} = \sqrt 2 \Rightarrow CD = 2OI = 2\sqrt 2 $.

Ta có ${\rm{\Delta }}SIO$ là tam giác vuông cân tại $O \Rightarrow SO = OI = \sqrt 2 $.

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}C{D^2}.SO = \frac{1}{3}{(2\sqrt 2 )^2}.\sqrt 2 = \frac{{8\sqrt 2 }}{3}$.

Chọn D