Cho hình chóp đều S . A B C D có độ dài tất cả các cạnh bằng 3 , điểm M thuộc cạnh S C sao cho S M = 2 M C . Mặt phẳng ( P ) chứa A M và song song với B D . Diện tích thiết diện c

94/100

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh bằng 3 , điểm $M$ thuộc cạnh $SC$ sao cho $SM = 2MC$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $AM$ và song song với $BD$. Diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi $\left( P \right)$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

6,12.

5,84.

7,34.

8,14.

Giải thích

$Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh bằng 3 , điểm $M$ thuộc cạnh $SC$ sao cho $SM = 2MC$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $AM$ và song song với $BD$. Diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi $\left( P \right)$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). A. 6,12. B. 5,84. C. 7,34. D. 8,14. (ảnh 1)$

Gọi $O = AC \cap BD,I = AM \cap SO$.

Trong $\left( {SBD} \right)$ từ $I$ kẻ đường thẳng ${\rm{\Delta }}$ song song với $BD$ cắt $SB,SD$ lần lượt tại $N,P$.

Suy ra thiết diện là tứ giác $ANMP$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AC}\\{BD \bot SO}\end{array} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AM} \right.$.

Mặt khác: $BD//NP$.

$ \Rightarrow AM \bot NP \Rightarrow {S_{ANMP}} = \frac{1}{2}NP.AM$.

+ Tính $AM$:

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SA = SC = 3}\\{AC = 3\sqrt 2 }\end{array} \Rightarrow {\rm{\Delta }}SAC} \right.$ vuông cân tại $S \Rightarrow AM = \sqrt {S{A^2} + S{M^2}} = \sqrt {{3^2} + {2^2}} = \sqrt {13} $.

+ Tính $NP$:

Ta có: $NP//BD \Rightarrow \frac{{NP}}{{BD}} = \frac{{SI}}{{SO}} \Rightarrow NP = \frac{{SI.BD}}{{SO}}$.

Gọi $\frac{{SI}}{{SO}} = k$.

Ta có: $\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AS} + \overrightarrow {SI} = - \overrightarrow {SA} + k\overrightarrow {SO} $.

$\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AS} + \overrightarrow {SM} = - \overrightarrow {SA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {SC} $

$A,I,M$ thẳng hàng $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = l\overrightarrow {AM} \Leftrightarrow - \overrightarrow {SA} + k\overrightarrow {SO} = - l\overrightarrow {SA} + \frac{2}{3}l\overrightarrow {SC} $

$ \Leftrightarrow - \overrightarrow {SA} + \frac{k}{2}\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} } \right) = - l\overrightarrow {SA} + \frac{2}{3}l\overrightarrow {SC} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}k + l = 1}\\{\frac{1}{2}k - \frac{2}{3}l = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = \frac{4}{5}}\\{l = \frac{3}{5}}\end{array}} \right.} \right.$.

$ \Rightarrow \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{4}{5} \Rightarrow NP = \frac{4}{5}BD = \frac{{12\sqrt 2 }}{5}$.

$ \Rightarrow {S_{ANMP}} = \frac{1}{2}NP.AM = \frac{1}{2}.\frac{{12\sqrt 2 }}{5}.\sqrt {13} = \frac{{6\sqrt {26} }}{5} \approx 6,12$.

Chọn A