Cho hình chóp cụt đều ABC.A'B'C' với đáy lớn ABC có cạnh bằng a. Đáy nhỏ A'B'C' có cạnh bằng a/2, chiều cao OO' = a/2. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

+ Đáp án a đúng.

+ Gọi \[I\] là trung điểm của \[BC\].

Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được \[\frac{{AA'}}{{SA}} = \frac{{OO'}}{{SO}} = \frac{1}{2}\] \[ \Rightarrow SO = 2OO' = a\]. Mặt khác \[\Delta ABC\] là tam giác đều cạnh \[a\], có \[AI\] là đường trung tuyến \[ \Rightarrow AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] \[ \Rightarrow AO = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\].

Áp dụng định lý Pytago trong \[\Delta SOA\] vuông tại \[O\] ta có:

\[S{A^2} = S{O^2} + A{O^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{12{a^2}}}{9}\] \[ \Rightarrow SA = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\] \[ \Rightarrow AA' = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]. Vì \[ABC.A'B'C'\] là hình chóp cụt đều nên \[AA' = BB' = CC' = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\] \[ \Rightarrow \] đáp án b sai.

+ Ta có: \[\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\]. Vì \[\Delta SBC\] cân tại \[S\] và \[I\] là trung điểm của \[BC\] nên suy ra \[SI \bot BC\]. Mặt khác \[\Delta ABC\] là tam giác đều có \[I\] là trung điểm của \[BC\] \[ \Rightarrow AI \bot BC\].

\[ \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SI,AI} \right) = \left( {SI,OI} \right) = \widehat {SIO}\] \[ \Rightarrow \] đáp án c đúng.

+ Ta có: \[\frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta A'B'C'}}}} = \frac{{\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A}}{{\frac{1}{2}.A'B'.A'C'.\sin A'}} = \frac{{AB.AC}}{{A'B'.A'C'}} = \frac{{2A'B'.2A'C'}}{{A'B'.A'C'}} = 4\] \[ \Rightarrow \] đáp án d đúng.