Cho hình bình hành ABCD. Vẽ hình bình hành BDCE và BDFC. CD cắt BF và AM cắt CF ở N. a) Chứng minh A đối xứng với E qua B.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AB = CD.

Mà BDCE là hình bình hành nên DC // BE, DC = BE.

Do AB // CD, DC // BE nên A, B, E thẳng hàng.

Mà AB = BE (= CD) nên B là trung điểm của AE.

Vậy A đối xứng với E qua B.

b) Vì BDFC là hình bình hành nên BD // CF, BD = CF.

Mà BDCE là hình bình hành nên BD // CE, BD = CE.

Do BD // CF, BD // CE nên F, C, E thẳng hàng.

Mà CF = CE (= BD) nên C là trung điểm của EF.

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra O là trung điểm của BD.

Gọi G là giao điểm của BF và DE.

Xét DGBO và DGFC có: \(\widehat {{\rm{GBO}}} = \widehat {{\rm{GFC}}}\) (vì BD // CF), \(\frac{{{\rm{BO}}}}{{{\rm{CF}}}} = \frac{{{\rm{2BO}}}}{{{\rm{2CF}}}} = \frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{EF}}}} = \frac{{{\rm{GB}}}}{{{\rm{GF}}}}\).

Do đó,  (c – g – c). Suy ra O, G, C thẳng hàng.

Vậy AC, BF, DE đồng quy tại điểm G.

d) Gọi H là giao điểm của AM và DO.

Vì M, O lần lượt là trung điểm của CD, AC. Do đó, H là trọng tâm của DACD.

Suy ra: \(\frac{{{\rm{OH}}}}{{{\rm{OD}}}} = \frac{1}{3}\).

Ta có: DO // CF suy ra \(\frac{{{\rm{OH}}}}{{{\rm{CN}}}} = \frac{{{\rm{AO}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{DO}}}}{{{\rm{CF}}}}\). Suy ra: \(\frac{{{\rm{FC}}}}{{{\rm{CN}}}} = \frac{{{\rm{DO}}}}{{{\rm{OH}}}} = 3.\) Vậy FC = 3NC.