Cho hình bình hành ABCD và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD), các điểm M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB, SC. Gọi O = AC ∩ BD.
22/25
Cho hình bình hành \(ABCD\) và một điểm \(S\) không thuộc mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), các điểm \(M,N\) lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng \(AB,SC\). Gọi \(O = AC \cap BD\).
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Đường thẳng \(SC\) và đường thẳng \(AB\) cắt nhau.
\(SO\) giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
Giao điểm của \(I\) của đường thẳng \(AN\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) là trọng tâm tam giác \(SAC\).
Giao điểm của \(J\) của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) là điểm nằm trên đường thẳng \(SD\). Ba điểm \(I,J,B\) không thẳng hàng.
a) Sai. Hai đường thẳng \(SC\) và \(AB\) chéo nhau vì chúng không cùng thuộc một mặt phẳng nào cả.
b) Đúng. Vì \(S\) là điểm chung thứ nhất, và \(O = AC \cap BD \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\) là điểm chung thứ hai.
c) Đúng. Xét trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), đường thẳng \(AN\) cắt \(SO\) tại điểm \(I\). Vì \(O\) là trung điểm \(AC\) nên \(SO\) là đường trung tuyến của , đồng thời \(AN\) cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh \(SC\). Giao điểm \(I\) của hai đường trung tuyến chính là trọng tâm của .
d) Sai. Thực chất, xét 3 điểm \(I,J,B\): điểm \(I \in AN \subset \left( {ABN} \right)\), điểm \(B \in \left( {ABN} \right)\), và giao điểm \(J\) của \(MN\) với \(\left( {SBD} \right)\) cũng thuộc mặt phẳng \(\left( {ABN} \right)\) và đồng thời thuộc \(\left( {SBD} \right)\). Theo định lý về ba mặt phẳng cắt nhau hoặc quan hệ giao tuyến, ba điểm \(I,J,B\) chính là các điểm cùng nằm trên giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), do đó chúng phải thẳng hàng. Như vậy \(MN \cap BI = J\).