Cho hình bình hành ABCD .Từ A kẻ AM vuông góc với BC,AN vuông

* Trường hợp góc B nhọn:

Xét △AMB và △AND, ta có:

∠(AMB) = ∠(AND) = 900

B = D (t/chất hình bình hành) ⇒ △AMB đồng dạng △AND (g.g)

Suy ra: 

Mà AD = BC (t/chất hình hình hành)

Suy ra: 

Lại có: AB // CD (gt)

AN ⊥ CD (gt)

Suy ra: AN ⊥ AB hay ∠(NAB) = 900

suy ra: ∠NAM + ∠MAB = 900 (1)

Trong tam giác vuông AMB ta có ∠ABM = 900

Suy ra: ∠(MAB) + ∠B = 900 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠NAM = ∠B

Xét △ABC và △MAN ta có:

 (chứng minh trên)

∠(NAM) = ∠B (chứng minh trên)

Vậy △ABC đồng dạng △MAN (c.g.c)

* Trường hợp góc B tù:

Xét △MAN và △AND, ta có:

∠(AMB) = ∠(AND) = 900

∠(ABM) = ∠(ADN) (vì cùng bằng C)

⇒△AMB đông dạng △AND (g.g)

Suy ra:

Mà AD = BC (t/chẩt hình bình hành)

Suy ra: 

Vì AB //CD nên ∠(ABC) + ∠C =1800 (3)

Tứ giác AMCN có ∠(AMC) = ∠(AND) = 900

Suy ra: ∠(MAN) + ∠C = 1800 (4)

Từ (3) và (4) suy ra: (MAN) = (ABC)

Xét △AMN và △ABC, ta có:

 (chứng minh trên)

∠(MAN) = ∠(ABC) (chứng minh trên)

Vậy △MAN đồng dạng △ABC (c.g.c)