Cho hình bình hành ABCD tâm O. Trên cạnh AB lấy điểm E, trên cạnh CD lấy điểm F sao cho AE = CF. Lấy điểm M trên đoạn OD, điểm N trên đoạn OB sao

a) Đúng. Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) và \(AD = BC.\)

Tứ giác \(AECF\) có \(AE\,{\rm{//}}\,CF\) và \(AE = CF\) nên \(AECF\) là hình bình hành.

b) Sai. Vì \(AECF\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(AC\) và \(EF\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vì \(O\) đã là trung điểm của \(AC,\) nên \(O\) cũng phải là trung điểm của \(EF.\) Do đó ba điểm \(E,O,F\) thẳng hàng.

c) Sai. Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AC,\,\,BD\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường. Do đó \(OD = OB.\)

Mà \(DM = BN,\) suy ra \(OM = ON.\)

Tứ giác \(EMFN\) có hai đường chéo \(EF\) và \(MN\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường nên là hình bình hành. Để là hình thoi, hai đường chéo phải vuông góc với nhau, điều này không có cơ sở để khẳng định.

d) Đúng. Vì \(DI\,{\rm{//}}\,BK\) nên \(\widehat {IAE} = \widehat {ABC}\) (so le trong).

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {FCK}\) (đồng vị).

Suy ra \(\widehat {IAE} = \widehat {FCK}.\)

Vì \(AK\,{\rm{//}}\,CI\) nên \(\widehat {AEI} = \widehat {CFK}.\) (so le trong).

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\widehat {EAK} = \widehat {AFD}\) (so le trong).

Mà \(\widehat {AFD} = \widehat {CFK}\) (đối đỉnh) suy ra \(\widehat {AEI} = \widehat {CFK}.\)

Xét \(\Delta IAE\) và \(\Delta KCF\) có:

\(\widehat {IAE} = \widehat {KCF},\) \(AE = CF,\) \(\widehat {AEI} = \widehat {CFK}.\)

Do đó \(\Delta IAE = \Delta KCF\) (c.g.c).

Suy ra \(IA = KC\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(AD = BC\) nên \(IA + AD = KC + BC\) hay \(DI = BK.\)