Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho
4/12
Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho CE→=AN→ (Hình 1).
a) Tìm tổng của các vectơ NC→và MC→; AM→ và CD→ ; AD→ và NC→.
b) Tìm các vectơ hiệu: NC→−MC→; AC→−BC→; AB→−ME→.
c) Chứng minh AM→+AN→=AB→+AD→.
a) Vì ABCD là hình bình hành nên BC // = AD.
M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD nên BM = MC = 12BC; AN = ND = 12AD
Mà CE→=AN→ nên CE //= AN.
Do đó: BM = MC = AN = ND = CE (1).
Hai vectơ AN→ và MC→ cùng hướng (do AN // MC và cùng hướng đi từ trái qua phải) và |MC→|=|AN→|nên AN→=MC→ .
Khi đó ta có AMCN là hình bình hành nên AM→=NC→.
Do đó:NC→+MC→=AM→+MC→=AC→
AM→+CD→=NC→+CD→=ND→
Lại có: ME = MC + CE; AD = AN + ND (2)
Từ (1) và (2) suy ra ME = AD, mà ME // AD nên AMED là hình bình hành, theo quy tắc hình bình hành ta có:AM→+AD→=AE→ .
Do đó ta có: AD→+NC→=AD→+AM→=AE→.
b) Vì AM→=NC→ và MC→=AN→ nên NC→−MC→=AM→−AN→=NM→.
Vì ABCD là hình bình hành nên BC→=AD→và AB→=DC→.
Do đó ta có: AC→−BC→=AC→−AD→=DC→=AB→.
Vì AMED là hình bình hành nên ME→=AD→.
Do đó ta có: AB→−ME→=AB→−AD→=DB→.
c) Do ABCD là hình bình hành nên AC→=AB→+AD→ .
Do AMCN là hình bình hành nên AC→=AM→+AN→.
Từ đó suy ra: AM→+AN→=AB→+AD→ .