Cho hình bình hành ABCD, điểm F trên cạnh BC Tia AF cắt BD và DC lần lượt ở E và G. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(BF\parallel AD\) (gt)

Suy ra \(\widehat {EDA} = \widehat {EBF}\) (so le trong)

           \(\widehat {EAD} = \widehat {EFB}\) (so le trong)

Xét \(\Delta DEA\) và \(\Delta BEF\), có:

\(\widehat {EDA} = \widehat {EBF}\) (so le trong)

\(\widehat {EAD} = \widehat {EFB}\) (so le trong)

Do đó,

Lại có \(AB\parallel GD\) (gt) nên \(\widehat {DGE} = \widehat {BAE}\) (so le trong)

Xét \(\Delta DGE\) và \(\Delta BAE\), có:

\(\widehat {DGE} = \widehat {BAE}\) (so le trong)

\(\widehat {DEG} = \widehat {BEA}\) (đối đỉnh)

Suy ra

b) Ta có: (cmt) nên \[\frac{{AE}}{{EF}} = \frac{{DE}}{{BE}}\] (1)

 (cmt) nên \[\frac{{GE}}{{EA}} = \frac{{DE}}{{BE}}\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\frac{{GE}}{{EA}} = \frac{{AE}}{{FE}}\] nên \(A{E^2} = EF.EG\) (đpcm).

c) Từ câu a), ta có: nên \[\frac{{AD}}{{BF}} = \frac{{DE}}{{BE}}\] (3)

 nên \[\frac{{GD}}{{BA}} = \frac{{DE}}{{BE}}\] (4)

Từ (3) và (4) suy ra \[\frac{{GD}}{{BA}} = \frac{{DA}}{{BF}}\] nên \[BF.DG = AD.BA\].

Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \[AD.BA\] không đổi.

Do đó, \[BF.DG\] không đổi khi \[F\] thay đổi trên \[BC.\]