Cho hình bình hành ABCD có tâm I, AD = 17, DC = 34 và cô vùng DAB = 60°. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của DC và AB.

a) Sai. Theo quy tắc hình bình hành: \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \).

Do đó \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BD} \) là Sai.

b) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} = \vec 0\) vì \(I\) là trung điểm của \(AC\).

Do đó: \(\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {DI} + \overrightarrow {IC} = \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} } \right) - \overrightarrow {DI} = \vec 0 - \overrightarrow {DI} = \overrightarrow {ID} \).

c) Đúng. Vì \(Q\) là trung điểm \(AB\) và \(P\) là trung điểm \(CD\), ta có \(\overrightarrow {AQ} = \overrightarrow {PC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).

Ta có: \(\overrightarrow {QC} - \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {QC} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow {QC} + \overrightarrow {AQ} = \overrightarrow {AQ} + \overrightarrow {QC} = \overrightarrow {AC} \).

Mặt khác \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).

Do đó \(\overrightarrow {QC} - \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \).

d) Đúng. Độ dài \(\left| {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \left| = \right|\overrightarrow {AC} } \right| = AC\).

Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(ADC\):

Ta có \(AB = DC = 34\), \(\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {DAB} = 120^\circ \).

\(A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos \widehat {ADC}\)\( = {17^2} + {34^2} - 2 \cdot 17 \cdot 34 \cdot \cos 120^\circ \)\( = 2023\).

Suy ra \(AC = \sqrt {2023} = \sqrt {289 \cdot 7} = 17\sqrt 7 \).

Kết luận:

a) Sai                        b) Đúng                     c) Đúng                     d) Đúng