Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy điểm M, qua M kẻ đường thẳng song song với AC, cắt BC tại N. Qua N kẻ đường thẳng song song vớ

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Do ABCD là hình bình hành có 2 đường chéo AC và BD bằng nhau nên ABCD là hình chữ nhật.

b) Sai. Ta có MN // AC; PQ // AC suy ra MN // PQ.

NP // BD; BD // MQ suy ra NP // MQ.

Do đó MNPQ là hình hình hành.

Gọi K là giao điểm của DB và MN, L là giao điểm NP và AC.

Ta có NP // BD nên \(\widehat {PNK} = \widehat {BKN}\) (so le trong);

MN // AC nên \(\widehat {BKN} = \widehat {KOL}\) (đồng vị)

Suy ra \(\widehat {PNK} = \widehat {KOL}\).

ABCD là hình chữ nhật nên AC không vuông góc với BD, suy ra \(\widehat {KOL} \ne 90^\circ \).

Vậy \(\widehat {PNK} \ne 90^\circ \).

Để hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật cần có góc vuông, mà \(\widehat {PNK} \ne 90^\circ \) nên MPNQ không phải hình chữ nhật.

c) Đúng. Vì MNPQ là hình bình hành nên MQ = NP.

d) Đúng. Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Ta có \(\widehat {AMQ} = \widehat {ABD} = \widehat {BDC} = \widehat {NPC}\).

Xét ∆AMQ vuông tại A và ∆CNP vuông tại C có:

MQ = NP và \(\widehat {AMQ} = \widehat {NPC}\)

Do đó ∆AMQ = ∆CNP (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AQ = CN.

Xét tứ giác AQCN có AQ // CN và AQ = CN nên AQCN là hình bình hành.

Khi đó hai đường chéo AC và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà O là trung điểm của AC nên O là trung điểm của NQ.

Theo c) có MNPQ là hình bình hành nên MP và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà O là trung điểm của NQ nên O là trung điểm của MP.

Như vậy bốn đường AC, BD, MP và NQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường hay bốn đường này đồng quy.