Cho hình bình hành ABCD có E , N lần lượt là trung điểm của BC , AE . Tìm các số p và q sao cho −−→ DN = p −−→ AB + q −−→ AC .

17/38

Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(E,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,AE\). Tìm các số \(p\) và \(q\) sao cho \(\overrightarrow {DN} = p\overrightarrow {AB} + q\overrightarrow {AC} \).

\(p = \frac{5}{4};\,q = \frac{3}{4}\);

\(p = - \frac{3}{4};\,q = \frac{2}{3}\);

\(p = - \frac{4}{3};\,q = - \frac{2}{3}\);

\(p = \frac{5}{4};\,q = - \frac{3}{4}\).

Giải thích

Đáp án đúng là: D

Đáp án đúng là: D (ảnh 1)

Ta có: \(\overrightarrow {DN} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AN} \).

Do \(N\) là trung điểm của \(AE\) nên \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} \).

Lại có \(E\) là trung điểm của \(BC\) nên với điểm \(A\) ta có: \(\overrightarrow {AE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\).

Do đó, \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \).

Lại có: \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \) (do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \)).

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {DN} = - \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \).

Vậy \(p = \frac{5}{4};\,q = - \frac{3}{4}\).