Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC là đường phân giác của góc A. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Hình bình hành ABCD có đường chéo AC là đường phân giác của góc A nên ABCD là hình thoi.

b) Đúng. Vì ABCD là hình thoi nên 2 đường chéo vuông góc với nhau. Vậy AC ⊥ BD.

c) Sai. Vì AC ⊥ BD suy ra ∆OAD vuông tại O có OE là đường trung tuyến nên \(OE = \frac{1}{2}AD\).

d) Đúng. Xét ∆OAB vuông tại O có \(\widehat {ABO} + \widehat {BAO} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BAO} = 90^\circ - \widehat {ABO} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ .\)

Vì AC là tia phân giác của góc BAD nên \(\widehat {CAD} = \widehat {BAO} = 60^\circ .\)

Vì ABCD là hình thoi nên AD = CD, do đó ∆ACD cân tại D.

Lại có \(\widehat {CAD} = 60^\circ \) nên ∆ACD là tam giác đều.

Suy ra AC = AD.

Theo ý c), \(OE = \frac{1}{2}AD\), nên nếu OE = 3 cm thì AD = 2OE = 2.3 = 6 (cm).

Vậy AC = 6 cm.