Cho hình bình hành $ABCD$ có $CB = CA$. Gọi $M$ là điểm bất kỳ trên tia đối của tia $BA$

5/6

Cho hình bình hành$ABCD$ có$CB = CA$. Gọi$M$ là điểm bất kỳ trên tia đối của tia$BA$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác$ACD$ cắt đường thẳng$MD$ tại điểm khác$D)$, đường tròn ngoại tiếp tam giác$AMN$ căt đường thẳng$MC$ tại điểm$K(K$ khác$M$).

a) Chứng minh tứ giác$ABKC$ nội tiếp

b) Gọi$I$ là giao điểm của đường thẳng$BK$. Chứng minh$I$ luôn thuộc một đường thẳng cố định khi$M$ thay đổi.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho hình bình hành $ABCD$ có $CB = CA$. Gọi $M$ là điểm bất kỳ trên tia đối của tia $BA$ (ảnh 1)$

a) Ta có:

$CA = CB$ mà$CB = DA$ ($ABCD$ là hình bình hành$)$

$ \Rightarrow AC = AD \Rightarrow {\rm{\Delta }}ACD$ cân

$\widehat {ADC} = \widehat {ACD}$

Mà$\widehat {ACD} = \widehat {BAC}$ (so le trong)

$ \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {ADC} \Rightarrow AB$ là tiếp tuyến của$\left( {ADC} \right)$

Tương tự, ta có$CD$ là tiếp tuyến của$\left( {ABC} \right)$

Ta có:$\widehat {AMN} = \widehat {NDC}$ (so le trong)

Mà\[\widehat {NDC} = \widehat {NAC}\] (\[ADCN\]nội tiếp)

$ \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {NAC} \Rightarrow AC$ là tiếp tuyến của$\left( {AMN} \right)$

Xét hai tam giác${\rm{\Delta }}AKC$và${\rm{\Delta }}MAC$ có:

$\widehat {ACK}$ là gócchung

$\widehat {KMA} = \widehat {KAC}$ (vì$AC$ là tiếp tuyến của$\left( {AMN} \right)$)

$ \Rightarrow \widehat {AKC} = \widehat {MAC}$

Mà do$CA = CB$

$ \Rightarrow {\rm{\Delta }}ABC$ cân tại$C$

$ \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {ABC}$

Do đó, ta có$\widehat {AKC} = \widehat {ABC}\left( { = \widehat {MAC}} \right)$

$ \Rightarrow ABKC$ nội tiếp (đpcm)

b) Gọi$S$ là giao điển của$BK$và$\left( {AMN} \right)$

Ta có$\widehat {SAM} = \widehat {SKM}$

Mà$\widehat {SKM} = {180^ \circ } - \widehat {BKC} = \widehat {BAC} = \widehat {ABC} = {180^ \circ } - \widehat {BAD}$

$ \Rightarrow \widehat {SAM} = {180^ \circ } - \widehat {BAD}$

$ \Rightarrow \widehat {SAM} + \widehat {BAD} = {180^ \circ }$

$ \Rightarrow S,A,D$ thẳng hàng

Khi đó, ta có:

$\widehat {SDC} = \widehat {ACD} = \widehat {CAB} = \widehat {SKM}$

$ \Rightarrow \widehat {SDC} = \widehat {SKM}$

$ \Rightarrow $Tứ giác${\rm{\;}}SDCK{\rm{\;}}$nội tiếp

$I$ là giao điểm$AN$và$SK$

Gọi$I'$ là giao điểm của$SK$và$CD$

Khi đó, ta có:

$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {NK{I^{\rm{'}}}} = \widehat {SAN}}\\{\widehat {NC{I^{\rm{'}}}} = \widehat {DAN}}\\{\widehat {SAN} + \widehat {DAN} = {{180}^ \circ }}\end{array}} \right\} \Rightarrow \widehat {NK{I^{\rm{'}}}} + \widehat {NC{I^{\rm{'}}}} = {180^ \circ }$

$ \Rightarrow NK{I^{\rm{'}}}C$ nội tiếp

Vì$NK{I^{\rm{'}}}C$ nội tiếp$ \Rightarrow \widehat {KC{I^{\rm{'}}}} = \widehat {KN{I^{\rm{'}}}}$

Mà$\widehat {KC{I^{\rm{'}}}} = \widehat {DSK}$ (do$SDCK$ nội tiếp)

Mà$\widehat {DSK} = \widehat {ASK} = \widehat {KNI}$

Từ đây suy ra:$\widehat {KN{I^{\rm{'}}}} = \widehat {KNI} \Rightarrow I \equiv I'$

Do đó$I \in CD$, mà$CD$ cố định

Vậy$I$ thuộc đường thẳng$CD$ cố định khi$M$ thay đổi (đpcm)

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Cần Thơ có đáp án

Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(CB = CA\). Gọi \(M\) là điểm bất kỳ trên tia đối của tia \(BA\)