Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB = 2AD. Kẻ tia phân giác của góc A cắt cạnh CD tại E, tia phân giác của góc D cắt cạnh AB tại F. Gọi M là giao điểm của AE và DF, N là giao điểm của BE và CF

Đáp án: 6.          

⦁ Gọi chu vi hình bình hành ABCD là P (cm).

Ta có P = 2(AB + AD) = 36 (cm).

Mà AB = 2AD nên 2(2AD + AD) = 36

6AD = 36

AD = 6 (cm).

Từ đó suy ra AB = CD = 12 cm và BC = AD = 6 cm.

Ta có \(\widehat {ADF} = \widehat {CDF}\) (do DF là tia phân giác góc D).

Mặt khác, vì AB // CD nên \[\widehat {CDF} = \widehat {AFD}\] (hai góc so le trong).

Suy ra \(\widehat {ADF} = \widehat {AFD}\), chứng tỏ tam giác ADF cân tại A.

Do đó AF = AD = 6 cm.

Khi đó, \[AF = \frac{1}{2}AB\] nên F bắt buộc phải là trung điểm của AB.

Lập luận tương tự ta có E chính là trung điểm của CD.

⦁ Xét tứ giác ADEF có AF // DE (nằm trên hai cạnh đối song song của hình bình hành) và AF = DE = 6 cm nên ADEF là hình bình hành.

Lại có AF = AD = 6 cm nên ADEF là hình thoi.

Theo tính chất hình thoi, hai đường chéo cắt và vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường. Suy ra AE vuông góc với DF tại M, hay \(\widehat {EMF} = 90^\circ \).

Chứng minh tương tự ta cũng có tứ giác BCEF là hình thoi và \(\widehat {EMF} = 90^\circ \).

⦁ Vì ADEF là hình thoi nên AD = EF, mà AD = AF = 6 cm và \[AF\; = \frac{1}{2}AB\] (vì F là trung điểm của AB). Suy ra \[EF\; = \frac{1}{2}AB\].

Tam giác AEB có đường trung tuyến EF ứng với cạnh AB và \[EF\; = \frac{1}{2}AB\] nên ∆AEB vuông tại E. Do đó \(\widehat {MEN} = 90^\circ .\)

Tương tự, ta có ∆CDF vuông tại F nên \(\widehat {MFN} = 90^\circ .\)

Xét tứ giác MENF, ta có bốn góc vuông: \(\widehat {EMF} = \widehat {MEN} = \widehat {ENF} = \widehat {MFN} = 90^\circ \) nên MENF là hình chữ nhật.

Suy ra MN = EF (hai đường chéo bằng nhau).

Mà EF = 6 cm, suy ra MN = 6 cm.